اثبات فرمول معروف هم ارزی جرم و انرژی

۱۶ دیدگاه

کلیه مطالب این پست و روش اثبات، عینا از مقاله ی* اینشتین است که در سال 1946 منتشر شده است.

روش زیرین برای استنتاج قانون هم ارزی، که پیش از این به چاپ نرسیده است، دو مزیت در بر دارد. با آنکه از اصل نسبیت خاص بهره می گیرد، متضمن کاربرد دستگاه صوری این نظریه نیست بلکه فقط سه قانون از پیش شناخته شده را به کار می گیرد:

1-قانون بقای اندازه ی حرکت(تکانه).

2-رابطه ی خاص فشار تابش؛ یعنی اندازه ی حرکت یک منبع تابش که در راستای ثابتی حرکت می کند.

3-رابطه ی معروف کجنمایی نور (تاثیر حرکت زمین بر مکان ظاهری ستارگان ثابت-برادلی).

اینک دستگاه زیر را در نظر می گیریم. جسم ساکن B را در فضا نسبت به دستگاه K0 آزاد فرض می کنیم. دو منبع تابش S و ‘S هرکدام با انرژی E/2 به ترتیب در جهت های مثبت و منفی راستای x0 حرکت می کنند و سرانجام جذب B می شوند. با این جذب انرژی B به مقدار E افزایش می یابد.

جسم B به دلیل تقارن، نسبت به K0 ساکن باقی می ماند.

اینک عین همین فرآیند را نسبت به دستگاه K در نظر می گیریم که نسبت به K0 با سرعت ثابت V در جهت منفی z0 در حرکت است. تشریح فرآیند نسبت به K از قرار زیر است:

جسم B با سرعت V در جهت مثبت z حرکت می کند. دو منبع تابش اینک نسبت به K دارای جهت هایی هستند که با محور x زاویه α را تشکیل می دهند. قانون کجنمایی می گوید که در نخستین تقریب \alpha =\frac{C}{V} ، که در آن C عبارت است از سرعت نور. از ملاحظات مربوط به K0 می دانیم که سرعت V جسم B بر اثر جذب S و ‘S بی تغییر باقی می ماند.

اینک قانون بقای اندازه حرکت(تکانه) را با توجه به جهت z در مورد دستگاه مختصات K به کار می بریم.

1-پیش از جذب، فرض کنیم M جرم B باشد؛ بنابراین MV تبیین اندازه حرکت(تکانه) B خواهد بود (بر اساس مکانیک کلاسیک). هر یک از دو منبع تابش دارای انرژی E/2 است و بنابراین، به موجب یکی از نتایج مشهور نظریه ماکسول، دارای اندازه حرکت(تکانه) E/2C است. دقیقا گفته باشیم، این اندازه حرکت S نسبت به K0 است. با وجود این، هنگامی که V نسبت به C کوچک باشد، اندازه ی حرکت نسبت به K همان سان که بود باقی می ماند، مگر برای کمیتی از مرتبه دوم بزرگی ( \frac{V^{2}}{C^{2}} نسبت به 1). مولفه ی z این اندازه ی حرکت عبارت است از \frac{E}{2C}sin\alpha ، یا با دقت کافی (به استثنای کمیت هایی از مرتبه بالاتر بزرگی) برابر با \frac{E}{2C}\alpha یا \frac{EV}{2C^{2}} . بنابراین، S و ‘S مجموعا دارای اندازه ی حرکت \frac{EV}{C^{2}} در جهت z هستند. پس، کل اندازه ی حرکت دستگاه پیش از جذب عبارت است از:

    \[MV+\frac{EV}{C^{2}}\]

2-پس از جذب، فرض کنیم ‘M جرم B باشد. در اینجا پیش بینی میکنیم که جرم بر اثر جذب انرژی E افزایش می یابد (این کار برای آنکه نتیجه ی نهایی بررسی ما منسجم باشد، ضرورت دارد). پس، اندازه ی حرکت دستگاه بعد از جذب عبارت می شود از M’V

حال قانون بقای اندازه ی حرکت را نسبت به جهت z به کار می بریم.

نتیجه می شود معادله ی

    \[MV+\frac{EV}{C^{2}}=M'V\]

    \[M'-M=\frac{E}{C^{2}}\]

این معادله بیانگر قانون هم ارزی انرژی و جرم است. افزایش انرژی E مرتبط است با افزایش جرم \frac{E}{C^{2}} . از آنجا که انرژی به موجب تعریف معمول، یک ثابت اضافی را آزاد می گذارد، می توانیم این آخری را طوری انتخاب کنیم که :

    \[E=MC^{2}\]

*: Einstein, A. (1946), An Elementary Derivation of the Equivalence of Mass and Energy, Technion Yearbook 5, 16-17. Reprinted in Einstein, A. (1967), Out of My Later Years. Totowa, NJ: Littlefield, Adams, & Co.

برچسب ها: , , , ,

۱۶ دیدگاه

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *